By Austin Melton, Bernd S. W. Schröder, George E. Strecker
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Example text
Subtrahieren wir b/a mal Zeile 1 von Zeile 2, ist das Pivotelement c − (b2 /a). Das ist gleich (ac − b2 )/a. 3 Elimination f¨uhrt auf K = LDLT 2 × 2 -Matrix faktorisiert in 37 ab 1 = bc b/a 1 a ac−b2 a 1 b/a . 49) 1 Die Pivotelemente sind f¨ur a > 0 und ac − b2 > 0 positiv. Das ist der 2 × 2-Test: ab bc ist genau dann positiv definit, wenn a > 0 und ac − b2 > 0 ist. Nur die erste der vier Beispielmatrizen besteht den Test: 23 38 positiv definit 24 48 positiv semidefinit 26 68 indefinit −2 −3 −3 −8 negativ definit Die Matrix mit b = 4 ist singul¨ar (Pivotelement fehlt) und positiv semidefinit.
Auch die Vorw¨artselimination schl¨agt dann fehl, weil wir mit einer Null ein von null verschiedenes Element, das unter ihm steht, nicht verschwinden lassen k¨onnen. Per Definition m¨ussen Pivotelemente stets von null verschieden sein. Wenn wir an einer Pivotposition auf eine Null stoßen, k¨onnen wir Zeilen vertauschen, um dadurch ein von null verschiedenes Element an eine Pivotposition zu bringen. Bei einer invertierbaren Matrix kann man die Zeilen so vertauschen, dass alle Pivotelemente von null verschieden sind.
Die ersten beiden Pivotelemente sind durch einen Kreis gekennzeichnet: ⎡ 2 ⎢ ⎢ ⎣0 0 ⎤ ⎤ ⎡ 0 ⎡ u1 ⎤ f1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ u2 ⎦ = ⎢ 3 ⎣ f2 + 12 f1 ⎦ 2 −1 ⎦ u3 f3 −1 2 2u1 − u2 −1 ist =4 3 2 u2 − u3 = 2 − u2 + 2u3 = 0 Im n¨achsten Schritt sehen wir uns das 2 × 2-System aus den beiden letzten Gleichungen an. Das Pivotelement ist durch einen Kreis gekennzeichnet. Um u2 aus der dritten Gleichung zu eliminieren, addieren wir zu dieser die zweite Gleichung multipliziert mit 32 . Dadurch steht in der Matrix auch an Position 3, 2 eine Null.